Espacio Muestral

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Conteo de Puntos Muestrales:

  1. Un restaurante ofrece cebolla, salsa, mostaza y picante como condimento para su agregado a una hamburguesa simple

a) Cuántas clases de hamburguesas puede preparar si los sabores se clasifican en: sin sabor, con uno, con dos, tres o cuatro condimentos a la vez?

b) Si se prepara una de cada sabor, cuál es la probabilidad de que una persona que tome una al azar, tome una que tiene salsa?

SOLUCIÓN:

a) Las clases de hamburguesas que el restaurante puede preparar están en función del número de condimentos que las mismas lleven. Por lo tanto habría que contar las distintas clases de hamburguesas de acuerdo al número de condimentos que ellas lleven:

#de condimentosa utilizar

Condimentos disponibles

Clases de hamburguesas

Ninguno (sin sabor)

Cebolla, salsa, mostaza, picante

4 C 0 = 1clase

1 condimento

Cebolla, salsa, mostaza, picante

4 C 1 = 4 clases

2 condimentos

Cebolla, salsa, mostaza, picante

4 C 2 = 6 clases

3 condimentos

Cebolla, salsa, mostaza, picante

4 C 3 = 4 clases

4 condimentos

Cebolla, salsa, mostaza, picante

4 C 4 = 1 clase

16 clases

Nótese que se han usado combinaciones para encontrar las distintas clases de hamburguesas. Esto se debe a que no nos interesa el orden que lleven los condimentos en las hamburguesas.

R/ Se pueden preparar 16 clases de hamburguesas, las cuales representan nuestro espacio muestral de 16 elementos.

b) Sea A el evento que consiste en seleccionar una hamburguesa que tenga salsa. Habría que encontrar el # de hamburguesas distintas que tengan salsa:

Condimentos

Clases de hamburguesas con salsa

Sólo salsa

1 clase

Salsa y otro más

1 * 3 C 1 = 3 clases

Salsa y dos más

1 * 3 C 2 = 3 clases

Salsa y tres más

1 * 3 C 3 = 1 clase

 

8 clases

R/ Los elementos de A son 8, por lo tanto P(A) = 8/16 = 1/2.

Probabilidad de un Evento:

2. Una maquina tiene un indicador con dos cilindros numéricos, cada uno

marcado de 0 a 9. Por medio de un resorte se hace girar los cilindros al

azar. Calcular las probabilidades de que:

A) La suma de los números de los dos cilindros sea igual a 9.

B) Aparezcan dos números cuya suma sea igual a 10.

C) La suma de los dos números sea por lo menos 5.

SOLUCIÓN:

A) Los números a utilizar son 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, por lo que para el primer inciso debemos ver de cuantas formas podemos lograr que la suma de ellos nos den 9.

S 1 = { (0,9) (1,8) (2,7) (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) (7,2) (8,1) (9,0) }

Luego conociendo las formas de obtener la sumatoria de 9 con los dos números calculamos la probabilidad de cada uno de ellos:

P(S 1 )= P(0,9)+ P(1,8)+ P(2,7)+ P(3,6)+ P(4,5)+ P(5,4)+ P(6,3)+ P(7,2)+ P(8,1)+ P(9,0)

Por lo que son diez formas diferentes.

La probabilidad de cada número es 1/10, si se consideran los cilindros independientes entonces la probabilidad de:

P(S 1 )= (1/10)*(1/10)*10 = 0.1

Donde 1/10 representa la probabilidad de cada número que en este caso lo multiplicamos dos veces ya que son dos números a sumar, multiplicado por 10 también que son las diez formas de que dan la sumatoria de 9.

B) Su procedimiento es igual al anterior solo que en este caso, son 9 formas las que dan como resultado de la suma 10.

S 2 = {(1,9) (2,8) (3,7) (4,6) (5,5) (6,4) (7,3) (8,2) (9,1)}

P(S 2 ) = P(1,9)+ P(2,8)+ P(3,7)+ P(4,6)+ P(5,5)+ P(6,4)+ P(7,3)+ P(8,2)+ P(9,1)

P(S 2 ) = (1/10)*(1/10)*9 = 0.09

C) Debe de hacerse una relación con los 2 números que aparezcan en los cilindros donde por lo menos la sumatoria de los dos números nos dé por lo menos 5 y en este caso lo máximo sería (9+9) =18.

Para poder sacar cada una de las probabilidades que en este caso sería del 5 al 18 que es el resultado obtenido por la suma de los dos números lo hacemos uno por uno siguiendo el procedimiento de los anteriores.

 

P(5) = P(0,5)+ P(1,4)+ P(2,3)+ P(3,2)+ P(4,1)+ P(5,0)

P(5) = (1/10)*(1/10)*6 = 0.06

P(6) = P(0,6)+ P(1,5)+ P(2,4)+ P(3,3)+ P(4,2)+ P(5,1)+ P(6,0)

P(6) = (1/10)*(1/10)*7 = 0.07

P(7) = (1/10)*(1/10)*8 = 0.08

P(8) = (1/10)*(1/10)*9 = 0.09

P(9) = (1/10)*(1/10)*10 = 0.1

P(10) = (1/10)*(1/10)*9 = 0.09

P(11) = (1/10)*(1/10)*8 = 0.08

P(12) = (1/10)*(1/10)*7 = 0.07

P(13) = (1/10)*(1/10)*6 = 0.06

P(14) = (1/10)*(1/10)*5 = 0.05

P(15) = (1/10)*(1/10)*4 = 0.04

P(16) = (1/10)*(1/10)*3 = 0.03

P(17) = (1/10)*(1/10)*2 = 0.02

P(18) = (1/10)*(1/10)*1 = 0.01

En donde nuestra probabilidad total es la sumatoria de la probabilidad del 5 al 18.

P(S 3 )= 6+0.07+0.08+0.09+0.1+0.09+0.08+0.07+0.06+0.05+0.04+0.03+0.02+0.01

= 0.85

También se puede resolver de la siguiente manera;

P(S 3 ) = 1 - P( la suma es menor o igual a 4)

P(S 3 ) = 1 - [ P(suma=0) + P(suma=1) + P(suma=2) + P(suma=3) + P(suma=4)]

P(S 3 ) = 1 - 0.15 = 0.85

3. Catorce monedas de 25 centavos y una que es de oro con valor de Q5.00

están en una bolsa; 15 monedas de 25 centavos están en otra. Se toman monedas de la primera bolsa y se colocan en la segunda. A continuación se toman 5 monedas de la segunda bolsa y se colocan en la primera. ¿ Cuál es la probabilidad, después de estas transacciones, que la moneda de oro se encuentre aun en la primera bolsa?

SOLUCION:

Tenemos al inicio 2 bolsas con las siguientes monedas

Bolsa 1 Bolsa 2

14----------Q 0.25 15-------------Q 0.25

1----------Q 5.00

Por lo que vamos a considerar 2 formas de experimentos que consisten en;

Experimento 1 ; Donde seleccionamos 5 monedas de la primera bolsa y la colocamos en la segunda. Aquí puede darse 2 formas A y B.

A) Que seria que al pasar las 5 monedas de la bolsa 1 para la bolsa 2 solo pasen las 5 monedas de 25 ctvs y que la de oro se quede en la bolsa1.

Bolsa 2 ------------- 15 monedas + 5 monedas = 20 monedas de 25 ctvs.

B) Que seria que al pasar las 5 monedas de la bolsa 1 a la bolsa 2 entre ellas se pase la moneda de oro, quedando así la bolsa 2 de la siguiente forma.

Bolsa 2---------------15 monedas +(4 monedas + 1 moneda de oro)= 19 monedas de 25ctv. 1 moneda de oro.

Experimento 2: Donde tomamos 5 monedas de la bolsa 2 y las colocamos en la bolsa 1. Quedando aquí también 2 alternativas C y D, dado que la moneda de oro pasa a la bolsa 2.

C) Que seria que al pasar las 5 monedas de la bolsa 2 a la bolsa 1 , las 5 monedas sean de 25 ctvs y que la de oro no pase. Quedando así la bolsa 1 de esta manera;

Bolsa 1 ------------ 10 monedas que quedaron + 5 monedas = 15 monedas de 25 ctvs

D) Que al pasar las 5 monedas de la bolsa 2 a la bolsa 1, entre ellas valla la moneda de oro quedando así:

Bolsa 1----------------10 monedas que quedaron + (4 monedas + 1 moneda de oro)=

= 14 monedas de 25 ctvs.

1 moneda de oro.

Como se puede observar las 4 alternativas son:

a) Se queda la moneda de oro y se trasladan 5 monedas de 25 ctvs.

b) Se va la moneda de oro y 4 de 25 ctvs.

C) Regresan las 5 monedas de 25 ctvs, dado que paso la de oro a la bolsa 2.

D) Regresa la moneda de oro, dado que paso a la bolsa 2.

Quedando nuestro resultado de la siguiente forma;

P(la moneda de oro en la bolsa 1) = P(que la moneda de oro permanezca en la bolsa 1) + P(que la moneda de oro pase a la bolsa 2 y regrese a la bolsa 1)=

 

R/ La probabilidad es de 0.7433

4. Una firma de construcción A debe tener cuando menos 2 obras a su cargo dentro de una semana para mantener el empleo de su personal básico. Ha sometido proyectos para cada una de tres obras del tipo I y para cada una de dos obras del tipo II. Las firmas ganadoras serán anunciadas dentro de la semana crucial. Supóngase que la firma A tiene probabilidad de 1/2 de que le otorguen una obra del tipo I y la probabilidad de 3/4 de que le otorguen una obra del tipo II. Las decisiones serán hechas independientemente. Cuál es la probabilidad de que la firma A esté en condiciones de continuar con el empleo de su personal básico?

SOLUCION:

La firma debe tener por lo menos 2 obras a su cargo de las 5 posibles (3 tipo I y 2 tipo II).

Sea X el evento que sea aprobado un proyecto tipo I & Y el evento que sea aprobado un proyecto tipo II:

P(X) = 0.5 P(X c ) = 1 -P(X) =0.5

P(Y) =0.75 P(Y c ) = 1 - P(Y) = 0.25

Hay que encontrar entonces la probabilidad de que sean aprobados por lo menos 2 proyectos (2, 3, 4 ó 5 proyectos).

Probabilidad (Por lo menos 2 proyectos aprobados) = 1 - ( Probabilidad(Ninguno aprobado) + Probabilidad(Uno aprobado) )

Puesto que las decisiones de aprobación de los proyectos son independientes:

Probabilidad (Ninguno aprobado)= P(X c ) * P(X c ) * P(X c ) * P(Y c ) * P(Y c )

= 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.25 * 0.25 = 0.0078125

Probabilidad (Uno aprobado) = P(X) * P(X c ) * P(X c ) * P(Y c ) * P(Y c )

+ P(X c ) * P(X) * P(X c ) * P(Y c ) * P(Y c )

+ P(X c ) * P(X c ) * P(X) * P(Y c ) * P(Y c )

+ P(X c ) * P(X c ) * P(X c ) * P(Y) * P(Y c )

+ P(X c ) * P(X c ) * P(X c ) * P(Y c ) * P(Y)

= 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.25 * 0.25

+ 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.25 * 0.25

+ 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.25 * 0.25

+ 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.75 * 0.25

+ 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.25 * 0.75

= 0.0703125

Probabilidad (Ninguno aprobado) + Probabilidad (uno aprobado) = 0.078125

Probabilidad (por lo menos 2 proyectos aprobados) = 1- 0.078125 = 0.9218

R/ La probabilidad de que la firma pueda mantener su personal básico es 0.9218.

5. La probabilidad de cerrar cada uno de los relés del circuito siguiente está dada por P. Si todos los relés funcionan independientemente, Cuál es la probabilidad de que exista una corriente entre las terminales I, D? Si la probabilidad de que el relé esté abierto al llegar la corriente es igual a 0.2.

SOLUCION:

La corriente pasará por un relé cuando esté cerrado, y la probabilidad de que eso suceda es P= 1 -0.2 = 0.8. También podemos observar que la corriente NO pasará por el relé con probabilidad de 0.2.

Considerando los siguientes eventos:

A= La corriente pasa por 1 & 2.

B= La corriente pasa por 3

C= La corriente pasa por 4 & 5.

D= La corriente pasa por 6

E= La corriente pasa por 7 & 8.

Hay que encontrar la probabilidad de que la corriente pase de I hasta D. Esto es posible si la corriente pasa en POR LO MENOS UNA ruta anteriormente mencionadas. Es decir que la corriente puede pasar por una, dos, tres, cuatro o cinco rutas SIMULTANEAMENTE.

Lo más fácil en éste caso es encontrar la probabilidad por medio del complemento. Es decir :

La probabilidad de que pase la corriente en por lo menos una ruta es igual a 1 menos la probabilidad de que la corriente NO pase en alguna de las Rutas (que no pase la corriente); en otras palabras:

P(pase)= 1 - P(no pase)

Puesto que hay que encontrar la probabilidad de que la corriente NO pase, debemos estudiar cada una de las rutas.

Probabilidad de que la corriente no pase por A

La corriente no pasará por A sí y solo si por lo menos un relé está abierto y puesto que los relés son independientes:

P(A c ) = P(abierto 1) + P (abierto 2) - P(Abierto 1 & Abierto 2)

P(A c )= 0.2 +0.2 -(0.2) 2 = 0.36

Que sería la misma probabilidad para las rutas C y E.

PUESTO QUE LAS RUTAS SON INDEPENDIENTES, ya que no tienen relés comunes; la probabilidad de que la corriente no pase en ALGUNA de las rutas sería:

P(no pase) = P(no pase A)* P(no pase B)*P(no pase C)*P(no pase D) *P(no pase E)

= 0.36*0.2*0.36*0.2*0.36 = 0.00186624

Por lo tanto, la probabilidad de que la corriente pase en por lo menos una ruta es:

P(pase)= 1 - 0.00186624 = 0.9981

R/ La probabilidad de que la corriente pase de I hasta D es 0.9981.

 

Última actualización el Martes, 26 de Julio de 2011 23:28

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