Variables Aleatorias Bidimensionales Continuas

Distribuciones de Probabilidad, Distribución Marginal y Esperanza Matemática.

16.Si x,y son variables aleatorias continuas con funcion de densidad de

Probabilidad:

f(x,y) = 18x 2 y 2 0 £ x £ 1 ; 0 £ y £ x

a) encuentre la probabilidad P( x < 1/2, y < 1/3 )

b) la distribución marginal de x

c) la distribución marginal de y

RECORRIDO XY

a) P(x < 1/2, y < 1/3) = P(0 £ x £ 1/3, 0 £ y £ x) + P(1/3 £ x £ 1/2, 0 £ y £ 1/3)

1/ 3 x 1/ 2 1/ 3

= ò ò 18x 2 y 2 dydx + ò ò 18x 2 y 2 dydx

0 0 1/ 3 0

= 0.0013717 + 0.0065157

= 0.007887

x

b) g(x) = ò 18x 2 y 2 dy = 18/3 x5 0 £ x £ 1

0

1

c) h(y) = ò 18x 2 y 2 dx = 6y 2 (1 - y 3 ) 0 £ y £ 1

y

17.Una cafetería de servicio tanto a clientes que llegan en automóvil como a los que llegan caminando. En un día elegido al azar, sean x,y respectivamente, las proporciones del tiempo en las que se utilizan las instalaciones para atender automovilistas y a los que llegan caminando. Suponga que la función de densidad conjunta de las variables esta dada por:

f(x,y) = 2/3(x + 2y) 0 < x £ 1, 0 £ y £ 1

Encuentre la probabilidad de que las instalaciones para atender a los que llegan caminando estén ocupados menos de la mitad del tiempo.

1

g(y) = ò 2/3(x + 2y)dx = 1/3 + 4/3y 0 £ y £ 1

0

0.5

P(y < 0.5) = ò (1/3 + 4/3y)dy = 1/3

0

18.En cierto proceso, para elaborar una sustancia química, el producto final Contiene dos tipos de impurezas. En una muestra de este producto "x" denota la proporción de impurezas y "y" la proporción de impurezas tipo 1, entre todas las impurezas encontradas. Suponga que se puede elaborar un modelo de la distribución conjunta x,y mediante la función:

f(x,y) = 2(1 - x) 0 £ x £ 1, 0 £ y £ 1

Encuentre el valor esperado de la proporción de impurezas tipo 1 en la muestra.

SOLUCION:

Sea Z la variable proporción de impurezas tipo 1 en la muestra:

Z = xy 1 1

E(z) = E(xy) = ò ò (xy)(2(1 - x))dydx

0 0

1 1

= ò ò 2xy(1 - x)dydx = 1/6

19.Si x,y tienen función de densidad conjunta:

f(x,y) = 1/y 0 < x < y ; 0 < y < 1

Encuentre:

P(x+y > 1/2)

P(x+y > 1/2) = 1 - P(x+y < 1/2)

0.25 y 0.5 0.5 - y

= 1 - [ ò ò 1/y dxdy + ò ò 1/y dxdy ]

0 0 0.25 0

P(x+y > 1/2) = 1 - 0.3465 = 0.6535

20. Dos variables aleatorias tienen una densidad conjunta dada por: f (X) = K ( X 2 + Y 2 ) 0 £ X £ 2

1 £ Y £ 4

A) Encuentre el valor de la constante K.

B) Encuentre la probabilidad de P ( 1 £ X £ 2 , 2 £ Y £ 3 )

C) Encuentre la probabilidad P ( X + Y > 4 )

P(0 £ X £ 2 , 1 £ Y £ 4)

2 4

ò ò K ( X 2 + Y 2 ) dx dy = 1

0 1

Entonces: 50 K = 1

K = 1/50

f ( XY ) = 1/50 ( X 2 + Y 2 )

2 3

B) P ( 1 £ X £ 2 , 2 £ Y £ 3 ) = ò ò 1/50 ( X 2 + Y 2 ) dy dx = 26/150

1 2

C) P ( X + Y > 4 ) = P ( 0 £ X £ 2 , 4-X £ Y £ 4 ) = ò ò 1/50 ( X 2 + Y 2 ) dy dx

0 4-X

= 0.533

x + y = 4 , y = 4 - y

21. La función de densidad conjunta para las variables aleatorias ( XY ) es: f (XY ) = 6 X , cuando 0 £ X £ 1 , 0 £ Y £ 1 - X.

Encuentre la probabilidad de que X sea mayor que 0.3 dado que Y es Igual a 0.5.

f (XY) = 6 X 0 £ X £ 1 0 £ Y £ 1-X

P ( X > 0.3 / Y = 0.5 )

1 - Y 1 - Y

g (Y ) = ò 6 X dx = 6 X 2 = 6 ( 1 - Y ) 2 = 3 ( 1 - Y ) 2

0 2 0 2

f ( X/Y ) = 6 X f ( X/Y = 0.5 ) = 6X = 8 X

3 ( 1 - Y ) 2 0.75

cuando 0 £ X £ 0.5

0.5

P ( X > 0.3 / Y = 0.5 ) = ò 8X dx = 0.64

0.3