Variables Aleatorias Bidimensionales Discretas

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VARIABLES. ALEATORIAS. BI- DIMENSIONALES. DISCRETAS:

Distribución Conjunta de Probabilidades y Esperanza Matemática .

11. Una fábrica tiene funcionando dos máquinas A y B. Si X y Y representan el número de veces que pueden fallar en un día determinado la máquina A y la máquina B respectivamente y C(x) y C(y) representan los costos que implica el número de fallas y cuyas funciones de probabilidad son las siguientes :

X

¦ (x)

C(x)

1

0.14

30

2

0.42

40

3

0.19

70

4

0.25

100

Y

¦ (y)

C(y)

1

0.29

35

2

0.71

58

a) Cuál es la probabilidad de que en un día dado falle más la máquina B que la máquina A?

b) Si la máquina A falló menos de cuatro veces Cuál es la probabilidad de que ambas máquinas fallen dos veces?

c) Cuál es la función de probabilidad del número total de fallas que pueden sucederle a la empresa en sus máquinas en determinado día?

d) Cuál es el costo esperado para un día cualquiera en arreglos de descomposturas?

SOLUCION:

Podemos elaborar una distribución conjunta de las variables X & Y. Puesto que dichas variables son independientes:

¦ (x,y) = f(x) * f(y)

X

Y

1

2

3

4

¦ (y)

1

0.0406

0.1218

0.0551

0.0725

0.29

2

0.0994

0.2982

0.1349

0.1775

0.71

¦ (x)

0.14

0.42

0.19

0.25

1

a) Simbólicamente lo pedido es : P(Y > X), evento que sucede únicamente cuando Y=2 y X= 1, por lo tanto la probabilidad pedida es P(X=1 y Y=2 ) que es f (1,2)= 0.0994.

b) Si definimos los siguientes eventos:

A: Evento que consiste en que la máquina A falle 2 veces y que la máquina B falle 2 veces.

B: Evento que consiste en que la máquina A falle menos de 4 veces.

Entonces:

P(A/ B ) = P(A Ç B ) / P(B) = f (2, 2) /[ g( 1 ) + g( 2) + g ( 3)]

= 0.2982 / (0.14+0.42+0.19) = 0.3976

R/ La probabilidad es de 0.3976

c) Cuál es la función de probabilidad del número total de fallas que pueden sucederle a la empresa en sus máquinas en determinado día?

Si T = Número total de fallas,

T = {2, 3, 4, 5, 6}

Entonces :

P(T=2) = f(1,1) = 0.0406

P(T=3) = f(1,2) + f(2,1) = 0.0994 + 0.1218 = 0.2212

P(T=4) = f(2,2) + f(3,1) = 0.2982 + 0.0551 = 0.3533

P(T=5) = f(3,2) + f(4,1) = 0.1349 + 0.0725 = 0.2074

P(T=6) = f(4,2) = 0.1775

Por consiguiente la distribución de probabilidad es:

T

¦ (T)

2

0.0406

3

0.2212

4

0.3533

5

0.2074

6

0.1775

d) Sea Z (X, Y) la variable de costo, que combine el costo de las dos máquinas:

Z(X,Y) = C(x) + C(y), siendo la probabilidad de Z igual a f(x,y):

Podemos elaborar la siguiente distribución de probabilidad del costo de Z:

Z(x,y) = C(x) + C(y)

¦ (Z) = f(x,y)

Z * ¦ (Z)

Z(1,1) = 65

0.0406

2.369

Z(1,2) = 88

0.0994

8.7472

Z(2,1) = 75

0.1218

9.135

Z(2,2) = 98

0.2982

29.2236

Z(3,1) = 105

0.0551

5.7855

Z(3,2) = 128

0.1349

17.2672

Z(4,1) = 135

0.0725

9.7875

Z(4,2) = 158

0.1775

28.045

 

S= 110.36

R/ El costo esperado es de Q 110.36.

 

Última actualización el Miércoles, 27 de Julio de 2011 00:07

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